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Eine `!invertierbare Garbe`! ist im `F33f`_`[mathematischen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f Teilgebiet der Garbentheorie eine `F33f`_`[Modulgarbe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Modulgarbe]`_`f über einem `F33f`_`[geringten Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geringter_Raum]`_`f, welche bezüglich des `F33f`_`[Tensorproduktes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tensorprodukt]`_`f von Modulgarben eine inverse Modulgarbe besitzt. Unter der Verallgemeinerung von `F33f`_`[Vektorbündeln`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorbündel]`_`f durch `F33f`_`[kohärente Garben`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kohärente_Garbe]`_`f entsprechen die invertierbaren Garben genau den Geradenbündeln, für welche komplett analog bezüglich des Tensorproduktes von Vektorbündeln ein inverses Geradenbündel existiert.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Picard-Gruppe`#picard-gruppe]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Definition

Sei ( X , O X ) {\\displaystyle (X,{\\mathcal {O}}_{X})} ein `F33f`_`[geringter Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geringter_Raum]`_`f und F {\\displaystyle {\\mathcal {F}}} eine O X {\\displaystyle {\\mathcal {O}}_{X}} -`F33f`_`[Modulgarbe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Modulgarbe]`_`f. F {\\displaystyle {\\mathcal {F}}} wird `*invertierbar`* genannt, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

• Es gibt eine kohärente O X {\\displaystyle {\\mathcal {O}}_{X}} -Modulgarbe G {\\displaystyle {\\mathcal {G}}} mit F ⊗ ⊗ O X G ≅ ≅ O X {\\displaystyle {\\mathcal {F}}\\otimes _{{\\mathcal {O}}_{X}}{\\mathcal {G}}\\cong {\\mathcal {O}}_{X}}

• Die kanonische Abbildung F ⊗ ⊗ O X F ∨ ∨ → → O X {\\displaystyle {\\mathcal {F}}\\otimes _{{\\mathcal {O}}_{X}}{\\mathcal {F}}^{\\vee }\\rightarrow {\\mathcal {O}}_{X}} mit der dualen Garbe F ∨ ∨ = Hom _ _ ( F , O X ) {\\displaystyle {\\mathcal {F}}^{\\vee }={\\underline {\\operatorname {Hom} }}({\\mathcal {F}},{\\mathcal {O}}_{X})} ist ein Isomorphismus.

• Der `F33f`_`[Endofunktor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Endofunktor]`_`f F ⊗ ⊗ O X − − : : S h ( X , O X ) → → S h ( X , O X ) {\\displaystyle {\\mathcal {F}}\\otimes _{{\\mathcal {O}}_{X}}-\\colon \\mathbf {Sh} (X,{\\mathcal {O}}_{X})\\rightarrow \\mathbf {Sh} (X,{\\mathcal {O}}_{X})} mit der Kategorie S h ( X , O X ) {\\displaystyle \\mathbf {Sh} (X,{\\mathcal {O}}_{X})} der O X {\\displaystyle {\\mathcal {O}}_{X}} -Modulgarben ist eine `F33f`_`[Kategorienäquivalenz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kategorienäquivalenz]`_`f.

Über lokal geringten Räumen sind die invertierbaren Garben genau die lokal freien Garben ersten Ranges.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

>>Eigenschaften

• Tensorprodukte von invertierbaren Modulgarben sind invertierbare Modulgarben.

• Invertierbare Modulgarben über Schemata sind `F33f`_`[quasikohärent`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quasikohärente_Garbe]`_`f.

>>Picard-Gruppe

→

Hauptartikel

:

Picardgruppe

Invertierbare Garben über einem Schema bilden eine Gruppe, die als Picardgruppe bezeichnet wird. Für ein Schema ( X , O X ) {\\displaystyle (X,{\\mathcal {O}}_{X})} ist diese gegeben durch die erste `F33f`_`[Garbenkohomologie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Garbenkohomologie]`_`f:

Pic ⁡ ⁡ ( X ) := H 1 ( X , O X ∗ ∗ ) . {\\displaystyle \\operatorname {Pic} (X):=H^{1}(X,{\\mathcal {O}}_{X}^{*}).}

>>Literatur

• `F33f`_`[Ravi Vakil`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ravi_Vakil]`_`f: `F33f`_`[The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=The_Rising_Sea:_Foundations_of_Algebraic_Geometry]`_`f. `F33f`_`[Princeton University Press`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Princeton_University_Press]`_`f, Princeton 2025, ISBN 978-0-691-26867-5 (englisch, stanford.edu [PDF]).

>>Weblinks

• Invertible sheaves auf dem Stacks Project (englisch)

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f `*The Rising Sea`*, 13.1.4. Definition

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a